El DOM significa Document Object Model, en español Modelo de Objetos del Documento, y es una interfaz de programación que nos permite crear, cambiar o remover elementos del documento HTML, visualizando como un árbol de nodos.
Su importancia en el uso de JavaScript en páginas web es en que es el puente fundamental para que el código pueda interactuar directamente con la página, sin el DOM JavaScript no podría modificar la estructura, cambiar los estilos o agregar eventos para hacer el sitio dinámico e interactivo.
Los eventos son cosas que ocurren en el sistema que estás desarrollando, y que el sistema te va a notificar para que tu código reaccione a ellos, siendo que los eventos se lanzan dentro de la ventana del navegador y suelen estar asociados a un elemento específico dentro de ella.
Ejemplos comunes:
Se envía un formulario
Una página web termina de cargarse.
Un vídeo se reproduce, se pausa o termina.

El alert sirve para mostrar una ventanita emergente de alerta al usuario con un mensaje y un botón de aceptar, bloqueando la página por completo hasta que le den clic.
El prompt también muestra una ventana emergente, pero con la gran diferencia de que te deja escribir y capturar un texto, sirviendo para pedir datos.
Y console.log no muestra nada al usuario en la página, sino que manda la información directamente a la consola de desarrollo, siendo súper útil para revisar cosas sin interrumpir ni bloquear para nada al usuario.
Hay varias maneras:
Presiona F12
Presionar en Windows Ctrl + Shift + I
Linux o Mac Cmd + Shift + I
O con el mouse se puede ir a Menú > Más herramientas > Herramientas del desarrollador.
Las ventajas de usarla para depurar son muchas, porque te muestra los errores de tu código al instante, te deja ver qué está fallando y te permite probar cosas y comandos ahí mismo sin tener que andar adivinando.

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